Kombinatorik zu Ostern

Frohe Ostern!

Am Ostersamstag waren in in der Familie fleißig und haben Eier gefärbt. Meine Aufgabe war es danach, die Eier auf unsere zwei Osternester „hübsch“ zu verteilen. Nach einer kleinen Diskussion darüber, wie man das am besten macht, kam dann die Frage auf, wie viele Möglichkeiten es dazu eigentlich gibt.

Wir färben unsere Eier immer in fünf verschiedenen Farben (zumindest wenn ich nicht wieder die Farbtabletten mit blau und grün vertausche und wir daher zwei mal blaugrün haben 🙂 ) und haben dieses Jahr zwanzig Eier gefärbt. Es gibt also vier Eier in jeder Farbe. Wir haben zwei Osternester, in jedes kommen also 10 Eier. (Das Bild oben ist nur Demo 🙂 )

Wie viele Möglichkeiten gibt es also 20 Eier, von denen jeweils 4 identisch sind, in 2 Nestern à 10 Stück anzuordnen? Dabei zählen natürlich keine Möglichkeiten, bei denen zwei gleichfarbige Eier vertausch wurden, und auch keine, die man durch Drehen der Nestern ausgleichen kann. (Die Eier liegen in jedem Nest in einem Kreis). Ein klassisches Problem der Kombinatorik also 🙂

Fangen wir erst mal etwas einfacher an, mit 10 Eiern in 5 Farben und einem Nest. Es gibt 10! = 3628800 Möglichkeiten, 10 Eier anzuordnen, wenn man alle als unterschiedlich annimmt, und auch die kreisförmige Anordnung nicht beachtet. Mit 10 Eiern gibt es jeweils 10 Anordnungen, die sich nur durch Drehung unterscheiden. Es bleiben also 10!/10 = 362880 Möglichkeiten, wenn alle Eier einzigartig wären. In jeder der fünf Farben gibt es zwei Eier, die wir als identisch ansehen. Folglich sind die beiden Anordnungen, in denen beispielsweise die beiden roten Eier vertauscht sind für uns identisch. Da das für jede der fünf Farben unabhängig voneinander gilt, sind 2^5=32 Anordnungen identisch. Es bleiben also 10!/10/2^5 = 11340 Anordnungen bei einem Nest.

Wie sieht das jetzt mit zwei Nestern aus? Wir haben 20 Eier, also 20! als „Grundmenge“. Davon sind diesmal 10*10 = 100 durch Drehung identisch (beide Nester können unabhängig in 10 Stellungen gedreht werden!). Zudem haben wir weiterhin nur fünf Farben, also gibt es nun 4 Eier jeder Farbe. Es sind also pro Farbe 4! = 24 Varianten identisch. Schlussendlich sind auch alle Varianten identisch, die alleine dadurch entstehen, dass wir das linke und rechte Nest vertauschen. Wir teilen also noch mal durch zwei. Damit bleiben „nur“ noch 20!/10*10/4!^5/2 = 152770117500, also ungefähr 150 Milliarden Möglichkeiten.

Ganz allgemein gesprochen: Um n Ostereier in k Farben kreisförmig auf m Nester zu verteilen (wobei k und m n teilen müssen) gibt es n!/(n/m)^m/k!^(n/k)/m Möglichkeiten. Wieder eine Anwendung für Mathe im Alltag gefunden 😉

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